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Kurvendiskussion Kardioide (gewurzelt)

 
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sswjs



Anmeldedatum: 21.09.2008
Beiträge: 1148

BeitragVerfasst am: Do Jan 27, 2011 10:30 pm    Titel: Kurvendiskussion Kardioide (gewurzelt) Antworten mit Zitat

Moin,

so, hier der neue Thread zur Arthur's (gewurzelten) Kardioide.

Fangen wir erst mal mit einer Bestandsaufnahme an.

Das ist die Kardioide, welche von Arthur in's Gespräch gebracht wurde.

Die Formel gibt's auch dazu, im Polarform:

[;r=\cos(t)+\sqrt{2-2\cdot \cos(t)};]

Hier wusste ich natürlich noch nicht, was Athur hier ausgegraben hatte, denn die normale Kardioide sieht so aus:

Hier natürlich auch die Formel dazu:

[;r=2-2\cdot \cos(t);]

Nachdem ich mich, nach einigen Umwegen, näher mit Arthur's Kurve beschäftigt hatte, folgte Überraschung eins:

Solch eine Rollkurve entsteht nur, wenn die beiden Kreise senkrecht aufeinander stehen. Mit anderen Worten, Arthurs Kardioide ist eine Abbildung einer Raumkurve.
Hier auch gleich mal die Formeln dazu (parametrisch?):

[;&&x=\cos(t)+\sin^2(t)\\
&&y=\sin(t)-\sin(t)\cdot\cos(t)\\
&&z=\cos(t);]

Arthur, nicht übelnehmen, aber deine Kurve hat mit Schauberger und seinen Kegeln nichts, aber auch gar nichts gemein.

Die Funktionen muss ich erst noch visualisieren, kommt in den nächsten Beiträgen.


Auf diesen (mathematischen) Krimi freut...
sswjs
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sswjs



Anmeldedatum: 21.09.2008
Beiträge: 1148

BeitragVerfasst am: Fr Jan 28, 2011 10:35 am    Titel: Antworten mit Zitat

Moin,

machen wir weiter. Die oben gennanten Formeln hab ich aus meinen Konstruktionen ermittelt. Siehe hier.
Aber zeigen wir mal, was die Formeln in Bildern sind:

Hier leg ich mal fest Diagramm in XY

Die Formeln gibt's auch dazu:

[;&&x=\cos(t)+\sin^2(t)\\ &&y=\sin(t)-\sin(t)\cdot\cos(t);]

Diagramm XZ

Formeln:

[;&&x=\cos(t)+\sin^2(t)\\ &&z=\cos(t);]

Diagramm ZY

Formeln:

[;&&z=\cos(t)\\ &&y=\sin(t)-\sin(t)\cdot\cos(t);]


Hier gab's eine der letzten Überraschungen, aber ich will sie nicht vorenthalten, sonst erinnert man sich sehr schlecht:

Die wirkliche Rollkurve hat mit Arthur's gewurzelter Kardioide nichts zu tun. Sie haben nur ein ähnliches Aussehen.

Hier nun mal die Bahnkonstruktionen von mir:




Wer in den angebenen Thread gesehen hat, weiß, daß auch noch ein "Ei" dabei ist, das hab ich hier weggelassen, da es auch nur eine Abbildung der Kurve ist.

mathematisch begeistert ist...
sswjs
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sswjs



Anmeldedatum: 21.09.2008
Beiträge: 1148

BeitragVerfasst am: Fr Jan 28, 2011 3:52 pm    Titel: Antworten mit Zitat

Moin,

ein Mathematiker würde diese Kurve nach der Disskusion über Stetigkeit, Diffenzierbarkeit, Nullstellen, Maxima und Minima ad Akta legen. Nicht so ich.

Bei der Konstuktion ist mir aufgefallen, daß, obwohl die beiden Räder über eine 1:1 Kopplung miteinander verbunden waren, die Wege zwischen den einzelnen Punkten unterschiedlich sind.
Eine Masse auf dieser Kurve wird enweder beschleunigt oder gebremst, und zwar von 0 (Spitze der Kardioide) bis 2(!) (2. Nullstelle in der XY-Ansicht).

Sehen wir uns das mal an:


Nennen wir die Show mal, "Impressionen einer Kurve"


Arthur's Aufgabe: Kugeln zählen...
sswjs
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sswjs



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Beiträge: 1148

BeitragVerfasst am: Sa Jan 29, 2011 11:28 am    Titel: Antworten mit Zitat

Moin,

wer bei den oben gezeigten Bildern mal versucht hat, die Kugeln zu zählen, ist hoffentlich auf 72 gekommen. Wink Je 24 rot, gelb und grün.
Das mit den 3 Farben war, wie vieles hier, Zufall. Solidworks prüft, wenn man simulieren möchte, auf Interferenzen und Kollisionen. Eigentlich sollten es 4 Konstruktionsräder werden, die kollidieren jedoch, so daß ich auf 3 herabsetzen musste.

Also begann ich mit dieser Konstruktion:

Wie sich später herausstellte, waren das zugleich die Maxima, Minima und Wendepunkt.

Rechnen wir doch mal die Raumkoordinaten der 3 Punkte aus.
Falls es noch keinem aufgefallen ist, können wir, aufgrund der starren 1:1 Kopplung der Kreise, auch den Winkel in XY-Ebene dazu benutzen die Z-Koordinate auszurechnen.

Fangen wir mit dem Wendepunkt (gelb) an:

[;x_{gelb}&=&\cos(0^\circ)+\sin^2(0^\circ)\\
x_{gelb}&=&0\\\\

y_{gelb}&=&\sin(0^\circ)-\sin(0^\circ)\cdot\cos(0^\circ)\\
y_{gelb}&=&0\\\\

z_{gelb}&=&\cos(0^\circ)\\
z_{gelb}&=&1;]


Rechnen wir das Maximun (rot) aus:

[;x_{rot}&=&\cos(120^\circ)+\sin^2(120^\circ)\\
x_{rot}&=&0{,}25\\\\

y_{rot}&=&\sin(120^\circ)-\sin(120^\circ)\cdot\cos(120^\circ)\\
y_{rot}&=&1{,}299\\\\

z_{rot}&=&\cos(120^\circ)\\
z_{rot}&=&-0{,}5;]

und nun das Minimum (Grün):

[;x_{gr\ddot{u}n}&=&\cos(240^\circ)+\sin^2(240^\circ)\\
x_{gr\ddot{u}n}&=&0{,}25\\\\

y_{gr\ddot{u}n}&=&\sin(240^\circ)-\sin(240^\circ)\cdot\cos(240^\circ)\\
y_{gr\ddot{u}n}&=&-1{,}299\\\\

z_{gr\ddot{u}n}&=&\cos(240^\circ)\\
z_{gr\ddot{u}n}&=&-0{,}5;]


Nach dem Bild und der Rechnerei dürfte klar sein, daß die Raumkurve etwas besonderes ist. 24 Kugeln auf dem Weg nach oben, aber 48 Kugeln auf dem Weg nach unten.

Sollte jetzt ein "Perpetuum Mobile - Fanatiker" "die Lösung" schreien, dem sei gesagt, daß er den (unsichtbaren) Geschwindigkeitshebel übersehen hat. Siehe die Berechnung von Zahnradübersetzungen.

immer noch nach der Formel für die Kurvenlänge sucht...
sswjs

PS.: Die Bilder der Kurve sollten die Schwierigkeiten des Beobachters zeigen, die wahre Form einer Raumkurve zu erkennen. Wink
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sswjs



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Beiträge: 1148

BeitragVerfasst am: So Jan 30, 2011 3:07 pm    Titel: Antworten mit Zitat

Moin,

da es mir noch nicht möglich war, eine Formel für die Länge der Kurve zu erstellen, hab ich mit die Konstruktion genommen und die 72 Punkte mal ausgemessen.
Mein Erwartungswert lag bei [;3\pi;], analog zum Kreis [;2\pi;], doch der gemessene Wert lieg unter [;3\pi;].

Hier der Wert:

[;U=9{,}1764;]

dazu der Vergleich:

[;3\pi=9{,}42477761;]

Genauere Werte des Umfangs lassen sich sofort mit der Infinitisimalrechnung ermitteln, welche aber sehr aufwendig in der Programmierung ist.


Da diese Kurve eine Raumkurve ist, müsste sich sich im Raum auch kombinieren lassen. Ich hab die Kurve mal am Maximum und Minimum geschnitten und den Teil unter der X-Achse gespielgelt.

Hier das Ergebnis:


Und hier wieder mal "Impressionen einer Kurve"




Der Drehwinkel zwischen den Bildern beträgt 15°.

Hier das ganze mal animiert Smile



immer noch am animieren...
sswjs
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Artur_X



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Wohnort: Mannheim

BeitragVerfasst am: So Jan 30, 2011 8:30 pm    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo,

habe mir nun diese Kurven angeschaut und durchaus auch überlegt, ob das einen Sinn hat. Ich muss aber leider sagen, dass ich keinen finde. Ich sehe auch den Bezug zu Schaubergers Doppeldrall nicht.

Wie unser Swaa jetzt herausgefunden hat, ist die beste Art, Kontaktelektrizität zu erzeugen, wenn das Medium an den Wänden "abrollt". Also in einem Rohr wäre das so etwas wie ein Rauchkringel, ein Torus also, der an der Wand v=0 hat und in der Mitte das Maximum. Den nun in einer enger werdenden Spiralkurve zu beobachten, wäre eine lohnende Aufgabe. Überdies sind die dann entstehenden Kurven Zykloiden und mit denen kenne ich mich aus.

Da hast Du auch den Ärger mit den Kurvenlängen nicht. Wie lang ist die Kurve, die ein Punkt am unteren Punkt eines Rades beschreibt, wenn das Rad um genau eine Umdrehung auf dem Boden abrollt ? Genau 8 x R. Ja, in Worten : acht. Alle Welt vermutet etwas Irrationales mit Pi, aber der Wert ist acht.

Mir wär's recht, wenn Du da etwas vorlegen könntest. Ich selbst finde da jetzt nicht so den Ansatz.

Gruß Artur
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sswjs



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BeitragVerfasst am: So Jan 30, 2011 10:07 pm    Titel: Antworten mit Zitat

Moin,

Zitat:
habe mir nun diese Kurven angeschaut und durchaus auch überlegt, ob das einen Sinn hat. Ich muss aber leider sagen, dass ich keinen finde.
Diese Kurven? Das sind alles Ansichten einer(!) Kurve.

Zitat:
Überdies sind die dann entstehenden Kurven Zykloiden und mit denen kenne ich mich aus.
Mit Zykloiden kennst du dich aus, aber was hast du denn hier die ganze Zeit gesehen?

Ich hab das ganze nur auf eine spezielle Epizykloide beschränkt. Die beiden Kreise stehen rechtwinklig aufeinander.

Edit: Hier die Kreise der Kurvenkonstruktion:

Der stehende Kreis wird auf dem Liegenden abgerollt und der rote Punkt zeichnet dann die Raumkurve, unsere spezielle Kardioide.
/Edit

Für mich ist die Kurve sehr interessant, das sie möglicherweise mein Problem mit der Geschwindigkeitsänderung löst.


jetzt auch die Geschwindigkeit ändert...
sswjs
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sswjs



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Beiträge: 1148

BeitragVerfasst am: Mo Feb 07, 2011 1:14 pm    Titel: Antworten mit Zitat

Moin,

Zitat:
Mir wär's recht, wenn Du da etwas vorlegen könntest. Ich selbst finde da jetzt nicht so den Ansatz.
Ja, dann leg ich mal was vor.

Wie wär's damit: Beim Abbremsen einer Masse auf dem "unterem" (auf die Spitze zu) Bahnsegment, wird die gesamte Bewegungsenergie auf die Konstruktion übertragen und nicht in Wärme umgesetzt. Die Energie steht also vollständig auf dem "oberen" (von der Spitze weg) Bahnsegment zur Verfügung, was eine Masse wieder beschleunigen kann.

Ich post dazu mal wieder Bilder, wenn ich meine Simulationen dazu in annehmbare Form gebracht habe Smile



mal wieder zum Trickfilmer wird...
sswjs
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sswjs



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BeitragVerfasst am: Fr Feb 11, 2011 3:31 pm    Titel: Antworten mit Zitat

Moin,

bevor ich zum Trickfilmer werde, stell ich hier mal eine (virtuelle) Anomalie vor. Soll heißen, ich brauch jemanden zum bestätigen oder widerlegen.

In meinen Simulationen zur Schwerkraft hat sich herausgestellt, daß die Konstruktion mit 3 Massen, siehe meine Animationen hier, im Gleichgewicht ist. Und das trotz Hebelarmverhältnis 1:1,25 und Geschwindigkeitverhältnis 2:1.

Misst man aber vom Mittelpunkt der Achsen zum Mittelpunkt der Massen, ergibt sich ein Verhältnis von 1:1. Obwohl die "Luftlinien" am Mittelpunkt einen in allen 3 Dimensionen von 180° abweichenden Winkel aufweisen.

Da es leider nur virtuell war, such ich jemanden, der mir helfen könnte, diese Anomalie auch real nachzuweisen.


man sucht etwas anderes und findet...
sswjs
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sswjs



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BeitragVerfasst am: Fr Mai 20, 2011 2:39 pm    Titel: Antworten mit Zitat

Moin,

für alle die es mal interessiert, ich hab noch eine interessante Kurve zu bieten:



jetzt mal fischen geht...
sswjs
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